यदि $\varphi (x) = \int_{1/x}^{\sqrt{x}} \sin(t^2) \, dt$ है,तो $\varphi'(1) = $

दिया गया है कि $\frac{d}{d x} \int_0^{\phi(x)} f(t) d t=f(\phi(x)) \phi^{\prime}(x)$. सभी $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,यदि $\int_1^{\cos x} t^2 f(t) d t=\cos 2 x$ है,तो $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=$

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(\sin \sqrt{t}) dt }{x^{3}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \int_a^x {t^3 e^t \, dt}$ है,तो $\frac{d}{dx} f(x) = $

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक सतत विषम फलन है,जो केवल एक बिंदु पर शून्य होता है और $f(1) = \frac{1}{2}$ है। मान लीजिए कि $F(x) = \int_{-1}^x f(t) dt$ सभी $x \in [-1, 2]$ के लिए और $G(x) = \int_{-1}^x t|f(f(t))| dt$ सभी $x \in [-1, 2]$ के लिए है। यदि $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{F(x)}{G(x)} = \frac{1}{14}$ है,तो $f\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \int_{\sin x}^{\cos x} e^{-t^2} dt$. तो $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।