दिया गया है कि frac{d}{d x} int_0^{phi(x)} f( | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण $\int_1^{\cos x} t^2 f(t) d t = \cos 2 x$ है। लेबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{d

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$4 \sqrt{2}$

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(B) दिया गया समीकरण $\int_1^{\cos x} t^2 f(t) d t = \cos 2 x$ है। लेबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx} \int_1^{\cos x} t^2 f(t) d t = \frac{d}{dx} (\cos 2 x)$ $(\cos x)^2 f(\cos x) \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) = -2 \sin 2 x$ $\cos^2 x \cdot f(\cos x) \cdot (-\sin x) = -2 \sin 2 x$ चूंकि $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$,इसलिए: $-\cos^2 x \cdot f(\cos x) \cdot \sin x = -2(2 \sin x \cos x)$ $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}ight)$ के लिए,$\sin x 
eq 0$ और $\cos x 
eq 0$ है,इसलिए हम $-\sin x \cos x$ से विभाजित कर सकते हैं: $f(\cos x) = \frac{4 \sin x \cos x}{\cos^2 x \sin x} = \frac{4}{\cos x}$ हमें $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}ight)$ ज्ञात करना है। मान लीजिए $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{\pi}{4}$। इस मान को $f(\cos x)$ के व्यंजक में रखने पर: $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}ight) = \frac{4}{1/\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$.

दिया गया है कि $\frac{d}{d x} \int_0^{\phi(x)} f(t) d t=f(\phi(x)) \phi^{\prime}(x)$. सभी $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,यदि $\int_1^{\cos x} t^2 f(t) d t=\cos 2 x$ है,तो $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=$

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\int_0^{x^2} \sec^2 t \, dt}{x \sin x} \right)$ का मान है

माना कि $f : (-1, 1) \to R$ एक सतत फलन है। यदि $\int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ है,तो $f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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