माना कि f : (-1, 1) to R एक सतत फलन है। यदि i | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $f : (-1, 1) 	o R$ एक सतत फलन है और $\int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकल

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$\sqrt{3}$

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(D) दिया गया है कि $f : (-1, 1) 	o R$ एक सतत फलन है और $\int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करते हुए):$\frac{d}{dx} \left( \int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} ight) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x ight)$$f(\sin x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$f(\sin x) \cdot \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}ight)$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखते हैं।इससे $x = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।अब $x = \frac{\pi}{3}$ को समीकरण में रखने पर:$f\left(\sin \frac{\pi}{3}ight) \cdot \cos \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}ight) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:$f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}ight) = \sqrt{3}$

माना कि $f : (-1, 1) \to R$ एक सतत फलन है। यदि $\int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ है,तो $f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f$ एक सतत फलन है जो $\int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx = \frac{4}{3} t^3, \forall t > 0$ को संतुष्ट करता है। तो $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\int_0^{x^2} \sec^2 t \, dt}{x \sin x} \right)$ का मान है

$\int_0^{\pi / 2} \sin ^8 x \cos ^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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