मान लीजिए f : R rightarrow R एक सतत विषम फलन | vedclass

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Question

(B) चूंकि $f$ एक विषम फलन है,$f(-t) = -f(t)$।$F(1) = \int_{-1}^1 f(t) dt = 0$ क्योंकि एक सममित अंतराल $[-a, a]$ पर विषम फलन का समाकलन $0$ होता है।$G(1

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$7$

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(B) चूंकि $f$ एक विषम फलन है,$f(-t) = -f(t)$।$F(1) = \int_{-1}^1 f(t) dt = 0$ क्योंकि एक सममित अंतराल $[-a, a]$ पर विषम फलन का समाकलन $0$ होता है।$G(1) = \int_{-1}^1 t|f(f(t))| dt = 0$ क्योंकि समाकल्य $h(t) = t|f(f(t))|$ एक विषम फलन है $(h(-t) = -t|f(f(-t))| = -t|f(-f(t))| = -t|f(f(t))| = -h(t))$।सीमा $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{F(x)}{G(x)}$ के लिए $L'H\hat{o}pital$ नियम का उपयोग करते हुए:$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{F'(x)}{G'(x)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x|f(f(x))|} = \frac{f(1)}{1 \cdot |f(f(1))|} = \frac{1/2}{|f(1/2)|} = \frac{1}{14}$।अतः,$|f(1/2)| = 7$। चूंकि $f$ एक सतत विषम फलन है जो केवल एक बिंदु $(x=0)$ पर शून्य होता है और $f(1) = 1/2 > 0$ है,इसलिए $x > 0$ के लिए $f(x)$ धनात्मक होना चाहिए। अतः,$f(1/2) = 7$।

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माना $H(x) = \int_{x^2}^{x^3} (x + 1) \sin(t^3) dt$ है। तो $\lim_{x \to 1} \frac{H(x)}{x - 1}$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f$ एक सतत फलन है जो $\int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx = \frac{4}{3} t^3, \forall t > 0$ को संतुष्ट करता है। तो $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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