निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: int_0^{pi | vedclass

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Question

(A) $I = \int_0^{\pi /2} \cos^2 x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ का उपयोग करते हैं।इसे

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$\frac{\pi}{4}$

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(A) $I = \int_0^{\pi /2} \cos^2 x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ का उपयोग करते हैं।इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int_0^{\pi /2} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx$$I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi /2} (1 + \cos(2x)) \, dx$$I = \frac{1}{2} \left[ x + \frac{\sin(2x)}{2} \right]_0^{\pi /2}$सीमाओं पर मान रखने पर:$I = \frac{1}{2} \left[ (\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(\pi)}{2}) - (0 + \frac{\sin(0)}{2}) \right]$चूँकि $\sin(\pi) = 0$ और $\sin(0) = 0$ है:$I = \frac{1}{2} [\frac{\pi}{2} + 0 - 0] = \frac{\pi}{4}$.

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_0^{\pi /2} \cos^2 x \, dx$

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निश्चित समाकल की परिभाषा द्वारा,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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