int_{0}^{2} [x^{2}] dx का मान ज्ञात कीजिए, जह | vedclass

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Question

(B) $\int_{0}^{2} [x^{2}] dx$ का मूल्यांकन करने के लिए, हम अंतराल $[0, 2]$ को उन बिंदुओं पर विभाजित करते हैं जहाँ $x^{2}$ एक पूर्णांक है: $x^{2} = 1,

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$5-\sqrt{2}-\sqrt{3}$

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(B) $\int_{0}^{2} [x^{2}] dx$ का मूल्यांकन करने के लिए, हम अंतराल $[0, 2]$ को उन बिंदुओं पर विभाजित करते हैं जहाँ $x^{2}$ एक पूर्णांक है: $x^{2} = 1, 2, 3, 4$। इससे हमें $x = 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$ बिंदु प्राप्त होते हैं। अतः, समाकलन इस प्रकार होगा: $\int_{0}^{1} [x^{2}] dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} [x^{2}] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^{2}] dx + \int_{\sqrt{3}}^{2} [x^{2}] dx$ $= \int_{0}^{1} 0 dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^{2} 3 dx$ $= 0 + [x]_{1}^{\sqrt{2}} + 2[x]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} + 3[x]_{\sqrt{3}}^{2}$ $= (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3})$ $= \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3}$ $= 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$.

$\int_{0}^{2} [x^{2}] dx$ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन $(GIF)$ को दर्शाता है।

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फलन $f(x) = \int\limits_0^x \frac{dt}{\sqrt{x^2 + t^2}}$ का प्रांत (domain) क्या है?

$\int_{-1}^{3/2} |x \sin \pi x| \, dx =$

यदि समाकलन $525 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 x \cos^{\frac{11}{2}} x \left(1+\cos^{\frac{5}{2}} x\right)^{\frac{1}{2}} d x$ का मान $(n \sqrt{2}-64)$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{{{n^2}}}{{\sec }^2}\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^2}}}{{\sec }^2}\frac{4}{{{n^2}}} + ..... + \frac{1}{n}{{\sec }^2}1} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकल $\int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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