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Question

(B) दिया गया व्यंजक $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^n {\frac{r}{{{n^2}}}{{\sec }^2}\frac{{{r^2}}}{{{n^2}}}} $ है। इसे $\ma

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$\frac{1}{2}	an 1$

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(B) दिया गया व्यंजक $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^n {\frac{r}{{{n^2}}}{{\sec }^2}\frac{{{r^2}}}{{{n^2}}}} $ है। इसे $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{r = 1}^n {\frac{r}{n}{{\sec }^2}\left( {\frac{r}{n}} ight)^2} $ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। योग की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{r = 1}^n {f\left( {\frac{r}{n}} ight)} = \int_0^1 {f(x)dx} $। यहाँ,$f(x) = x \sec^2(x^2)$ है। अतः,सीमा $\int_0^1 {x{{\sec }^2}{x^2}dx} $ के बराबर है। माना $t = x^2$,तब $dt = 2x dx$,या $x dx = \frac{1}{2} dt$। जब $x = 0$,तब $t = 0$। जब $x = 1$,तब $t = 1$। समाकलन $\frac{1}{2} \int_0^1 {\sec^2 t dt} = \frac{1}{2} [	an t]_0^1 = \frac{1}{2} 	an 1$ हो जाता है।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{{{n^2}}}{{\sec }^2}\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^2}}}{{\sec }^2}\frac{4}{{{n^2}}} + ..... + \frac{1}{n}{{\sec }^2}1} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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