मान लीजिए g(x) = int_0^x f(t) , dt जहाँ t in | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $g(2) = \int_0^2 f(t) \, dt = \int_0^1 f(t) \, dt + \int_1^2 f(t) \, dt$.$t \in [0, 1]$ के लिए,हमारे पास $\frac{1}{2} \le f(t) \le 1$

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$0 \le g(2) < 2$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $g(2) = \int_0^2 f(t) \, dt = \int_0^1 f(t) \, dt + \int_1^2 f(t) \, dt$.$t \in [0, 1]$ के लिए,हमारे पास $\frac{1}{2} \le f(t) \le 1$ है। इसका $[0, 1]$ पर समाकलन करने पर:$\int_0^1 \frac{1}{2} \, dt \le \int_0^1 f(t) \, dt \le \int_0^1 1 \, dt$$\frac{1}{2} \le \int_0^1 f(t) \, dt \le 1 \quad \dots (i)$$t \in (1, 2]$ के लिए,हमारे पास $0 \le f(t) \le \frac{1}{2}$ है। इसका $(1, 2]$ पर समाकलन करने पर:$\int_1^2 0 \, dt \le \int_1^2 f(t) \, dt \le \int_1^2 \frac{1}{2} \, dt$$0 \le \int_1^2 f(t) \, dt \le \frac{1}{2} \quad \dots (ii)$$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$\frac{1}{2} + 0 \le \int_0^1 f(t) \, dt + \int_1^2 f(t) \, dt \le 1 + \frac{1}{2}$$\frac{1}{2} \le g(2) \le \frac{3}{2}$.चूंकि $\frac{1}{2} \le g(2) \le \frac{3}{2}$,इसलिए $g(2)$ का मान अंतराल $[0, 2)$ के भीतर आता है। अतः,$0 \le g(2) < 2$ सही असमिका है।

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यदि $f(t) = \int_{-t}^t \frac{e^{-|x|}}{2} dx$ है, तो $\lim_{t \rightarrow \infty} f(t)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 x \, dx = $ . . . . . . .

$\int_1^2 \frac{x^4-1}{x^6-1} d x=$

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$\int_0^{\pi /4} {\frac{{\sec x}}{{1 + 2{{\sin }^2}x}}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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