int_0^infty {frac{{x,dx}}{{(1 + x)(1 + {x^2}) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^\infty \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} dx$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ $\frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} = \frac{A}{1 +

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi }{4}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^\infty \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} dx$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ $\frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} = \frac{A}{1 + x} + \frac{Bx + C}{1 + x^2}$. અચળાંકો માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $x = A(1 + x^2) + (Bx + C)(1 + x)$. $x = -1$ માટે,$-1 = A(2) \implies A = -1/2$. $x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$0 = A + B \implies B = 1/2$. અચળાંકોની સરખામણી કરતા,$0 = A + C \implies C = 1/2$. આમ,$\frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{x + 1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x} ight) = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x} ight)$. $0$ થી $\infty$ સુધી સંકલન કરતા: $I = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + 	an^{-1}(x) - \ln(1 + x) ight]_0^\infty$. $I = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + x^2}{(1 + x)^2}ight) + 	an^{-1}(x) ight]_0^\infty$. જેમ $x 	o \infty$,$\frac{1 + x^2}{(1 + x)^2} 	o 1$,તેથી $\ln(1) = 0$. $I = \frac{1}{2} [0 + \frac{\pi}{2} - (0 + 0)] = \frac{\pi}{4}$.

$\int_0^\infty {\frac{{x\,dx}}{{(1 + x)(1 + {x^2})}}} = $

Similar Questions

જો $f(x) = \begin{cases} \sqrt{1 - x} & 0 \le x \le 1 \\ (7x - 6)^{-1/3} & 1 < x \le 2 \end{cases}$ હોય,તો $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi / 2} \sin ^5\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \sin x \, dx =$

જો $m$ અને $n$ એવા પૂર્ણાંકો હોય કે જેથી $(m - n)$ એક એકી પૂર્ણાંક હોય,તો નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\pi} \cos(mx) \sin(nx) \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે,સંકલન $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \ln(e^{\cos x}) \, d(\sin x)$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $a, b, c$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\int_0^3 {(3ax^2 + 2bx + c)\,dx} = \int_1^3 {(3ax^2 + 2bx + c)\,dx}$,તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module