0

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \ln(e^{\cos x}) \, d(\sin x)$.કારણ કે $\ln(e^{\cos x}) = \cos x$,તેથી સંકલન $I = \int_{\frac{

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{12}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \ln(e^{\cos x}) \, d(\sin x)$.કારણ કે $\ln(e^{\cos x}) = \cos x$,તેથી સંકલન $I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cos x \, d(\sin x)$ થશે.આપણે જાણીએ છીએ કે $d(\sin x) = \cos x \, dx$.જ્યારે $\sin x = \frac{1}{2}$,ત્યારે $x = \frac{\pi}{6}$.જ્યારે $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$,ત્યારે $x = \frac{\pi}{3}$.આ કિંમતો મૂકતા,$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos x (\cos x \, dx) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2 x \, dx$.નિત્યસમ $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} [x + \frac{\sin 2x}{2}]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$.$I = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{3} + \frac{\sin(2\pi/3)}{2}) - (\frac{\pi}{6} + \frac{\sin(\pi/3)}{2})]$.$I = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) - (\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4})] = \frac{1}{2} [\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}] = \frac{1}{2} [\frac{\pi}{6}] = \frac{\pi}{12}$.

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે,સંકલન $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \ln(e^{\cos x}) \, d(\sin x)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

$\int_{-2}^{2} |1 - x^2| \, dx = $

ધારો કે $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ અને $F(x)=\int_0^x t f(t) d t$. જો $F(x^2)=x^4+x^5$ હોય,તો $\sum_{r=1}^{12} f(r^2)$ ની કિંમત શોધો:

$\int_0^{2/3} \frac{dx}{4 + 9x^2} = $

સમીકરણ $\int_{-1}^{x} (8t^2 + \frac{28}{3}t + 4) dt = \frac{(\frac{3}{2})x + 1}{\log_{(x+1)} \sqrt{x+1}}$ નું સમાધાન કરતા $x$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા શોધો.

$\int_{0}^{20\pi} (\sin^4 x + \cos^4 x) dx$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module