int_0^a x^2 (a^2 - x^2)^{3/2} dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^a x^2 (a^2 - x^2)^{3/2} dx$. $x = a \sin 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = a \cos 	heta d	heta$ મળે. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $	heta = 0

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi a^6}{32}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^a x^2 (a^2 - x^2)^{3/2} dx$. $x = a \sin 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = a \cos 	heta d	heta$ મળે. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $	heta = 0$ અને જ્યારે $x = a$,ત્યારે $	heta = \frac{\pi}{2}$. $I = \int_0^{\pi/2} (a^2 \sin^2 	heta) (a^2 - a^2 \sin^2 	heta)^{3/2} (a \cos 	heta) d	heta$ $I = \int_0^{\pi/2} (a^2 \sin^2 	heta) (a^2 \cos^2 	heta)^{3/2} (a \cos 	heta) d	heta$ $I = \int_0^{\pi/2} (a^2 \sin^2 	heta) (a^3 \cos^3 	heta) (a \cos 	heta) d	heta$ $I = a^6 \int_0^{\pi/2} \sin^2 	heta \cos^4 	heta d	heta$ સૂત્ર $\int_0^{\pi/2} \sin^m 	heta \cos^n 	heta d	heta = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = a^6 \frac{\Gamma(\frac{3}{2}) \Gamma(\frac{5}{2})}{2 \Gamma(\frac{8}{2})} = a^6 \frac{(\frac{1}{2} \sqrt{\pi}) (\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi})}{2 \cdot 3!} = a^6 \frac{\frac{3}{8} \pi}{2 \cdot 6} = a^6 \frac{3\pi}{96} = \frac{\pi a^6}{32}$.

$\int_0^a x^2 (a^2 - x^2)^{3/2} dx = $

Similar Questions

સંકલન $\int_{1}^{e} \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \right) \log_{e} x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{\sin x}, & x \in (0, 1) \\ 1, & x = 0 \end{cases}$. સંકલન $I_n = \sqrt{n} \int_0^{1/n} f(x) e^{-nx} dx$ ધ્યાનમાં લો. તો,$\lim_{n \to \infty} I_n$ શું થાય?

$\int_1^2 \frac{x^4-1}{x^6-1} d x=$

જો $\cos x + \cos 2x + \ldots + \cos nx = \frac{A(x)}{2 \sin(x/2)}$ હોય, તો $\int_0^\pi A(x) dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module