ધારો કે f(x) = begin{cases} frac{x}{sin x}, & | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{\sin x}$ જ્યાં $x \in (0, 1)$ અને $f(0) = 1$. આપણે $\lim_{n 	o \infty} I_n$ શોધવું છે જ્યાં $I_n = \sqrt{n} \int_0^{1

Vedclass · Accepted Answer

અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને $0$ છે

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{\sin x}$ જ્યાં $x \in (0, 1)$ અને $f(0) = 1$. આપણે $\lim_{n 	o \infty} I_n$ શોધવું છે જ્યાં $I_n = \sqrt{n} \int_0^{1/n} f(x) e^{-nx} dx$. ધારો કે $nx = t$,તેથી $x = t/n$ અને $dx = dt/n$. જ્યારે $x$ ની કિંમત $0$ થી $1/n$ સુધી જાય છે,ત્યારે $t$ ની કિંમત $0$ થી $1$ સુધી જાય છે. આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $I_n = \sqrt{n} \int_0^1 f(t/n) e^{-t} \frac{dt}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^1 \frac{t/n}{\sin(t/n)} e^{-t} dt$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim_{u 	o 0} \frac{u}{\sin u} = 1$. જેમ $n 	o \infty$,તેમ $t/n 	o 0$ થાય છે,જ્યાં $t \in [0, 1]$. તેથી,$\lim_{n 	o \infty} \frac{t/n}{\sin(t/n)} = 1$. સંકલન ચિહ્ન હેઠળ લક્ષના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $\lim_{n 	o \infty} I_n = \lim_{n 	o \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^1 (1) e^{-t} dt = \lim_{n 	o \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} [1 - e^{-1}] = 0 	imes (1 - e^{-1}) = 0$.

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{\sin x}, & x \in (0, 1) \\ 1, & x = 0 \end{cases}$. સંકલન $I_n = \sqrt{n} \int_0^{1/n} f(x) e^{-nx} dx$ ધ્યાનમાં લો. તો,$\lim_{n \to \infty} I_n$ શું થાય?

Similar Questions

જો $m$ અને $n$ એવા પૂર્ણાંકો હોય કે જેથી $(m - n)$ એક એકી પૂર્ણાંક હોય,તો નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\pi} \cos(mx) \sin(nx) \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $\int_0^k \frac{dx}{2 + 8x^2} = \frac{\pi}{16}$ હોય,તો $k = $

સાબિત કરો કે $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3} x \, dx = \frac{2}{3}$.

જો $\phi(t)=\begin{cases} 1, & 0 \leq t < 1 \text{ માટે} \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$ હોય, તો $\int_{-3000}^{3000} \left( \sum_{r'=2014}^{2016} \phi(t-r') \phi(t-2016) \right) dt$ ની કિંમત શું થાય?

સંકલન $\int \limits_1^{\sqrt{2}+1} \left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right) \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module