int_{ - pi }^{pi } {frac{{2x(1 + sin x)}}{{1 | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x(1 + \sin x)}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $.हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:$I = \int_{ - \pi }^\

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${\pi ^2}$

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(B) माना $I = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x(1 + \sin x)}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $.हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:$I = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} + \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $.प्रथम भाग के लिए,$f(x) = \frac{2x}{1 + \cos^2 x}$ लें। चूंकि $f(-x) = \frac{-2x}{1 + \cos^2(-x)} = -f(x)$,फलन विषम है। अतः,$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = 0$.दूसरे भाग के लिए,$g(x) = \frac{2x\sin x}{1 + \cos^2 x}$ लें। चूंकि $g(-x) = \frac{2(-x)\sin(-x)}{1 + \cos^2(-x)} = \frac{2x\sin x}{1 + \cos^2 x} = g(x)$,फलन सम है। अतः,$\int_{-\pi}^{\pi} g(x) dx = 2 \int_0^{\pi} g(x) dx$.अतः,$I = 2 \int_0^{\pi} \frac{2x\sin x}{1 + \cos^2 x} dx = 4 \int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ ... $(i)$.गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = 4 \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x)\sin(\pi - x)}{1 + \cos^2(\pi - x)} dx = 4 \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x)\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ ... $(ii)$.$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I = 4 \int_0^{\pi} \frac{x\sin x + (\pi - x)\sin x}{1 + \cos^2 x} dx = 4\pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$.$I = 2\pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$.माना $t = \cos x$,तब $dt = -\sin x dx$. जब $x=0, t=1$; जब $x=\pi, t=-1$.$I = 2\pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1 + t^2} = 2\pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1 + t^2} = 2\pi [	an^{-1} t]_{-1}^1$.$I = 2\pi (	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(-1)) = 2\pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = 2\pi (\frac{\pi}{2}) = \pi^2$.

$\int_{ - \pi }^{\pi } {\frac{{2x(1 + \sin x)}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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