हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल में,इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल मुख्य क्वांटम संख्या $n$ की किस घात के समानुपाती होता है?

शास्त्रीय रूप से,एक इलेक्ट्रॉन परमाणु के नाभिक के चारों ओर किसी भी कक्षा में हो सकता है। तो परमाणु का विशिष्ट आकार क्या निर्धारित करता है? एक परमाणु अपने विशिष्ट आकार से हजार गुना बड़ा क्यों नहीं है? इस प्रश्न ने बोहर को उनके प्रसिद्ध परमाणु मॉडल पर पहुंचने से पहले बहुत उलझन में डाल दिया था जिसे आपने पाठ्यपुस्तक में सीखा है। अपनी खोज से पहले उन्होंने जो किया होगा उसका अनुकरण करने के लिए,आइए प्रकृति के मूल स्थिरांकों के साथ इस प्रकार खेलें और देखें कि क्या हमें लंबाई के आयाम वाली एक ऐसी मात्रा मिल सकती है जो परमाणु के ज्ञात आकार $\left(\sim 10^{-10} \;m \right)$ के लगभग बराबर हो।
$(a)$ मूल स्थिरांकों $e, m_{e},$ और $c$ से लंबाई के आयाम वाली एक मात्रा का निर्माण करें। इसका संख्यात्मक मान निर्धारित करें।
$(b)$ आप पाएंगे कि $(a)$ में प्राप्त लंबाई परमाणु आयामों से कई गुना छोटी है। इसके अलावा,इसमें $c$ शामिल है। लेकिन परमाणुओं की ऊर्जाएं ज्यादातर गैर-सापेक्षवादी क्षेत्र में होती हैं जहां $c$ की कोई भूमिका होने की उम्मीद नहीं है। इसी ने बोहर को $c$ को छोड़ने और सही परमाणु आकार प्राप्त करने के लिए 'कुछ और' खोजने का सुझाव दिया होगा। अब,प्लांक का स्थिरांक $h$ कहीं और दिखाई दे चुका था। बोहर की महान अंतर्दृष्टि यह पहचानने में थी कि $h, m_{e},$ और $e$ सही परमाणु आकार देंगे। $h, m_{e},$ और $e$ से लंबाई के आयाम वाली एक मात्रा का निर्माण करें और पुष्टि करें कि इसका संख्यात्मक मान वास्तव में सही क्रम का है।

एक हाइड्रोजन परमाणु पर विचार करें जिसका इलेक्ट्रॉन $n^{\text{th}}$ कक्षा में है। परमाणु को आयनित करने के लिए $90 \ nm$ तरंग दैर्ध्य के विद्युत चुम्बकीय विकिरण का उपयोग किया जाता है। यदि उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $10.4 \ eV$ है,तो $n$ का मान क्या होगा? $(hc = 1242 \ eV \ nm)$

अपने सिद्धांत को समझाने के लिए,बोहर ने किसका उपयोग किया?

एक परमाणु में,दो इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर $R$ और $4R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षाओं में घूम रहे हैं। उनके द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिए गए समय का अनुपात क्या है?

बोहर के मॉडल का उपयोग करके हाइड्रोजन आयन $(H^-)$ के आकार की गणना करने के लिए,हम मानते हैं कि इसके दो इलेक्ट्रॉन एक कक्षा में इस प्रकार घूमते हैं कि वे हमेशा नाभिक के व्यास के विपरीत दिशाओं में होते हैं। प्रत्येक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $\hbar = h / 2\pi$ मानते हुए और इलेक्ट्रॉन अंतःक्रिया को ध्यान में रखते हुए,हाइड्रोजन परमाणु की बोहर त्रिज्या $a_B = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{me^2}$ के पदों में कक्षा की त्रिज्या क्या है?