જો sum_{k=1}^n left( sum_{m=1}^k m^2 right) = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{m=1}^k m^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{2k^3 + 3k^2 + k}{6}$.તેથી,$\sum_{k=1}^n \left( \sum_{m=1}^k m^2 \right) = \fr

Vedclass · Accepted Answer

$a = \frac{1}{12}$

Vedclass · Answer

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{m=1}^k m^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{2k^3 + 3k^2 + k}{6}$.તેથી,$\sum_{k=1}^n \left( \sum_{m=1}^k m^2 \right) = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^n (2k^3 + 3k^2 + k)$.$= \frac{1}{6} \left[ 2 \sum k^3 + 3 \sum k^2 + \sum k \right]$.$= \frac{1}{6} \left[ 2 \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right]$.$= \frac{1}{12} n^2(n^2+2n+1) + \frac{1}{12} (2n^3+3n^2+n) + \frac{1}{12} (n^2+n)$.$= \frac{1}{12} (n^4 + 2n^3 + n^2 + 2n^3 + 3n^2 + n + n^2 + n) = \frac{1}{12} n^4 + \frac{4}{12} n^3 + \frac{5}{12} n^2 + \frac{2}{12} n$.$an^4 + bn^3 + cn^2 + dn + e$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{1}{12}$,$b = \frac{1}{3}$,$c = \frac{5}{12}$,$d = \frac{1}{6}$,અને $e = 0$ મળે છે.આમ,$a = \frac{1}{12}$ સાચું છે.

જો $\sum_{k=1}^n \left( \sum_{m=1}^k m^2 \right) = an^4 + bn^3 + cn^2 + dn + e$ હોય,તો નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

Similar Questions

શ્રેણી $\frac{1^{2}}{1} + \frac{1^{2}+2^{2}}{1+2} + \frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}}{1+2+3} + \ldots$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

ધારો કે $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ એક શ્રેણી છે જેથી $a_{1}=1, a_{2}=1$ અને તમામ $n \geq 1$ માટે $a_{n+2}=2a_{n+1}+a_{n}$ છે. તો $47 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^{3n}}$ ની કિંમત $.....$ છે.

શ્રેણી $0.7, 0.77, 0.777, \dots$ ના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદ લખો જેનું $n^{th}$ પદ $a_{n} = n \frac{n^{2}+5}{4}$ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module