गुणोत्तर श्रेणी $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}, \frac{1}{2 - \sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \dots$ के अनंत पदों का योग क्या है?

मान लीजिए $S_{k} = \frac{1+2+\ldots+k}{k}$ और $\sum_{j=1}^n S_j^2 = \frac{n}{A}(Bn^2 + Cn + D)$,जहाँ $A, B, C, D \in \mathbb{N}$ और $A$ का मान न्यूनतम है। तो:

$1 + \frac{1}{2}(1^2+2^2) + \frac{1}{3}(1^2+2^2+3^2) + \dots$ श्रेणी के $10$ पदों का योगफल क्या होगा?

मान लीजिए $a_n$ उन सभी $n$-अंकीय धनात्मक पूर्णांकों की संख्या को दर्शाता है जो $0, 1$ या दोनों अंकों से बने हैं,जिनमें कोई भी क्रमागत अंक $0$ नहीं है। मान लीजिए $b_n$ ऐसे $n$-अंकीय पूर्णांकों की संख्या है जो अंक $1$ पर समाप्त होते हैं और $c_n$ ऐसे $n$-अंकीय पूर्णांकों की संख्या है जो अंक $0$ पर समाप्त होते हैं।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
$(A)$ $a_{17} = a_{16} + a_{15}$
$(B)$ $c_{17} \neq c_{16} + c_{15}$
$(C)$ $b_{17} \neq b_{16} + c_{16}$
$(D)$ $a_{17} = c_{17} + b_{16}$
$2.$ $b_6$ का मान है
$(A)$ $7$ $(B)$ $8$ $(C)$ $9$ $(D)$ $11$
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।

यदि $2.5+5.9+8.13+11.17+\ldots$ के $n$ पदों का योग $=an^3+bn^2+cn+d$ है,तो $a-b+c-d=$

मान लीजिए $a_n$ एक अनुक्रम है जहाँ $a_1 = 5$ और $a_{n+1} = a_n + (n - 2)$ सभी $n \in N$ के लिए,तो $a_{51}$ का मान क्या है?