{{(0.2)}^{{{log }_{sqrt{5}}}left( frac{1}{4} | vedclass

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Question

(D) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है: $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \infty$.यहाँ,प्रथम पद $a = \frac{1}{4}$ और सार्व अनुपात

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$4$

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(D) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है: $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \infty$.यहाँ,प्रथम पद $a = \frac{1}{4}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/4}{1-1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ है।अब,व्यंजक $(0.2)^{\log_{\sqrt{5}}(1/2)}$ हो जाता है।चूँकि $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ और $\sqrt{5} = 5^{1/2}$,हमारे पास है:$(5^{-1})^{\log_{5^{1/2}}(2^{-1})} = (5^{-1})^{\frac{-1}{1/2} \log_{5} 2} = (5^{-1})^{-2 \log_{5} 2} = 5^{2 \log_{5} 2}$.गुणधर्म $n \log_{b} a = \log_{b} a^n$ का उपयोग करने पर,$5^{\log_{5} 2^2} = 2^2 = 4$ प्राप्त होता है।

${{(0.2)}^{{{\log }_{\sqrt{5}}}\left( \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \infty \right)}}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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अनंत श्रेणी $1+\frac{2}{3}+\frac{7}{3^{2}}+\frac{12}{3^{3}}+\frac{17}{3^{4}}+\frac{22}{3^{5}}+\ldots$ का योग किसके बराबर है?

$2.5 + 5.9 + 8.13 + 11.17 + \ldots$ $10$ पदों तक $=$

$\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) \ldots(k+r-1) =$

यदि $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{(2r-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ है,तो $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{r^2} = \dots$

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