यदि किसी समांतर श्रेणी $(AP)$ का $7$ वाँ पद $40$ है,तो उसके प्रथम $13$ पदों का योग........ होगा।

$1$ और $31$ के बीच $m$ संख्याएँ इस प्रकार डाली गई हैं कि परिणामी अनुक्रम एक $A.P.$ है और $7^{\text{वीं}}$ और $(m-1)^{\text{वीं}}$ डाली गई संख्याओं का अनुपात $5:9$ है। $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) $a_1, a_2, \dots, a_n$ पर विचार करें, जहाँ $a_1 > 0$ है। यदि $a_2 - a_1 = -\frac{3}{4}$, $a_n = \frac{1}{4} a_1$ और $\sum_{i=1}^n a_i = \frac{525}{2}$ है, तो $\sum_{i=1}^{17} a_i$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $s_1, s_2, s_3, \ldots, s_{10}$ उन $10$ समांतर श्रेणियों के प्रथम $12$ पदों का योग है जिनके प्रथम पद $1, 2, 3, \ldots, 10$ हैं और सार्व अंतर क्रमशः $1, 3, 5, \ldots, 19$ हैं। तो $\sum_{i=1}^{10} s_i$ का मान ज्ञात कीजिए।

समांतर श्रेणी $50, 48, 46, 44, \dots$ के योग का अधिकतम मान क्या है?

सिद्ध कीजिए कि एक $A.P.$ के $(m+n)^{th}$ और $(m-n)^{th}$ पदों का योग $m^{th}$ पद के दोगुने के बराबर होता है।