अनंत श्रेणी 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + dots का य | vedclass

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Question

(A) माना योग $S = 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ है। हम जानते हैं कि अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ है,जहाँ $|x

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$(1 + x) / (1 - x)^3$

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(A) माना योग $S = 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ है। हम जानते हैं कि अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ है,जहाँ $|x| दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ प्राप्त होता है। $x$ से गुणा करने पर,$\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ प्राप्त होता है। पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1-x)^2} \right) = \frac{1+x}{(1-x)^3}$ प्राप्त होता है। अतः,श्रेणी का योग $S = \frac{1+x}{(1-x)^3}$ है।

अनंत श्रेणी $1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ का योग क्या है?

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