અનંત શ્રેણી 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + dots નો સ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે સરવાળો $S = 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ છ

Vedclass · Accepted Answer

$(1 + x) / (1 - x)^3$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે સરવાળો $S = 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ છે,જ્યાં $|x| બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ મળે. $x$ વડે ગુણતા,$\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ મળે. ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1-x)^2} \right) = \frac{1+x}{(1-x)^3}$ મળે. આમ,શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{1+x}{(1-x)^3}$ થાય.

અનંત શ્રેણી $1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

Similar Questions

બધા $n \in N$ માટે,જો $1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3 > x$ હોય,તો નીચેનામાંથી $x$ ની કિંમત કઈ છે?

$0.7 + 0.77 + 0.777 + \dots$ શ્રેણીના પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$\sum\limits_{r = 1}^n {\sum\limits_{m = 1}^r {m} } = \dots$

જો $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$ અને $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (2021)^2 - (2022)^2 + (2023)^2 = 1012 m^2 n$ હોય,તો $m^2 - n^2$ ની કિંમત શોધો.

જો $A = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3+(-1)^{n})^{n}}$ અને $B = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(3+(-1)^{n})^{n}}$ હોય,તો $\frac{A}{B}$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module