$1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 16! + 17!$ ના સરવાળાનો દશકનો અંક નીચેનામાંથી કોના વડે વિભાજ્ય છે?

જો $4, 6, 9, 5, 3, x$ અને $y$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવેલી સાત અંકની સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો આવી ક્રમિત જોડીઓ $(x, y)$ ની સંખ્યા કેટલી થાય?

$n \geq 2$ માટે,ધારો કે $S_n$ એ $\{1, 2, \ldots, n\}$ ના એવા તમામ ઉપગણોનો સમૂહ છે જેમાં કોઈ પણ બે ઘટકો ક્રમિક ન હોય. ઉદાહરણ તરીકે,$\{1, 3, 5\} \in S_6$,પરંતુ $\{1, 2, 4\} \notin S_6$. તો $n(S_5)$ ની કિંમત . . . . . . છે.

$100$ અને $1000$ ની વચ્ચેની કુલ કેટલી સંખ્યાઓ અંકો $1, 2, 3, 4, 5$ નો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય,જો અંકોનું પુનરાવર્તન ન થાય અને સંખ્યાઓ $3$ અથવા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય?

$2, 3, 4, 5, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનાવી શકાય તેવી તમામ $4$-અંકી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો થાય?

$n$ ઈનામો $n$ છોકરાઓ વચ્ચે કેટલી રીતે વહેંચી શકાય કે જેથી કોઈ પણ છોકરાને બધા જ ઈનામો ન મળે?