$1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 16! + 17!$ के योग का दहाई का अंक निम्नलिखित में से किससे विभाज्य है?

$6$ अलग-अलग उपन्यासों और $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से,$4$ उपन्यासों और $1$ शब्दकोश का चयन करके एक शेल्फ पर एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित किया जाना है कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे। ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या है:

यदि $a + b + c = 50$ और $a, b, c$ अऋणात्मक सम पूर्णांक हैं,तो $ab^2c$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

$FARMER$ शब्द के सभी विन्यास,अर्थ के साथ या बिना,लिखे जाते हैं,जिसमें उन शब्दों को छोड़कर जिनमें दो $R$ एक साथ आते हैं। इन विन्यासों को अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार वर्णानुक्रम में सूचीबद्ध किया गया है। तो इस सूची में $FARMER$ शब्द का क्रम संख्या .... है।

एक डिबेट क्लब में $6$ लड़कियाँ और $4$ लड़के हैं। इस क्लब से $4$ सदस्यों की एक टीम चुनी जानी है,जिसमें टीम के लिए एक कप्तान का चयन (इन $4$ सदस्यों में से) भी शामिल है। यदि टीम में अधिकतम एक लड़का शामिल हो,तो टीम चुनने के तरीकों की संख्या क्या है?

यदि कुछ $m, n$ के लिए,${ }^6 C_{m}+2({ }^6 C_{m+1})+{ }^6 C_{m+2} > { }^8 C_3$ और ${ }^{n-1} P_3 : { }^n P_4 = 1 : 8$ है,तो ${ }^n P_{m+1} + { }^{n+1} C_m$ का मान ज्ञात कीजिए।