$6$ '$+$' और $4$ '$*$' चिह्नों को एक पंक्ति में कितनी तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि कोई भी दो '$*$' चिह्न एक साथ न आएं?

एक चुनाव में,उम्मीदवारों की संख्या चुने जाने वाले व्यक्तियों से $1$ अधिक है। यदि एक मतदाता $254$ तरीकों से वोट दे सकता है,तो उम्मीदवारों की संख्या है:

यदि $10 \cdot ^nC_2 = 3 \cdot ^{n+1}C_3$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक छात्र को एक परीक्षा में $13$ में से $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,इस प्रकार कि उसे पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ प्रश्न चुनने होंगे। उसके पास उपलब्ध विकल्पों की संख्या है

$2n$ वस्तुओं में से $n$ वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें से $n$ वस्तुएं समान हैं और शेष अलग हैं:

$7$ समान सफेद गेंदें और $3$ समान काली गेंदें हैं। सभी गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ न हों।