यदि $\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\overrightarrow{AC} = 5\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}$ त्रिभुज $\triangle ABC$ की भुजाएँ हैं,तो $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका की लंबाई ............. इकाई है।

मान लीजिए $O$ मूलबिंदु है और $\overline{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,$\overline{OB} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \lambda\overline{OA})$ किसी $\lambda > 0$ के लिए है। यदि $|\overline{OB} \times \overline{OC}| = \frac{9}{2}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A)$ $\overline{OC}$ का $\overline{OA}$ पर प्रक्षेप $-\frac{3}{2}$ है
$(B)$ त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{9}{2}$ है
$(C)$ त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{9}{2}$ है
$(D)$ $\overline{OA}$ और $\overline{OC}$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के बीच का न्यून कोण $\frac{\pi}{3}$ है

मान लीजिए कि $\overrightarrow{OA}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{OB}=\hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k}$,और $\overrightarrow{OC}=-3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ क्रमशः तीन बिंदुओं $A$,$B$,और $C$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $G$ त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक है,तो $BC^2+CA^2+AB^2+9(OG)^2=$

मान लीजिए कि एक त्रिभुज के तीन शीर्षों के स्थिति सदिश $4 \overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} - 3 \overrightarrow{r}$,$-5 \overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + 2 \overrightarrow{r}$ और $2 \overrightarrow{p} - \overrightarrow{q} + 2 \overrightarrow{r}$ हैं। यदि त्रिभुज के लंबकेंद्र $(O)$ और परिकेंद्र $(C)$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{4}$ और $\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r}$ हैं,तो $\alpha + 2 \beta + 5 \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

त्रिभुज $ABC$ में बिंदु $D, E, F$ भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ को क्रमशः $1:4, 3:2$ और $3:7$ के अनुपात में विभाजित करते हैं और बिंदु $K$ भुजा $AB$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,तो $(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF}) : \overrightarrow{CK}$ का मान क्या है?

यदि $S$ त्रिभुज $ABC$ का परिकेंद्र,$G$ केंद्रक और $O$ लंबकेंद्र है,तो $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = $