यदि A, B, C, D अंतरिक्ष में चार बिंदु हैं,तो | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।हम जानते हैं कि $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{

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$4$

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(C) मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।हम जानते हैं कि $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |(\vec{b}-\vec{a}) 	imes (\vec{c}-\vec{a})| = \frac{1}{2} |\overline{AB} 	imes \overline{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।मान लीजिए $V = |\overline{AB} 	imes \overline{CD} + \overline{BC} 	imes \overline{AD} + \overline{CA} 	imes \overline{BD}|$ है।सर्वसमिका $\overline{AB} 	imes \overline{CD} + \overline{BC} 	imes \overline{AD} + \overline{CA} 	imes \overline{BD} = 2 (\overline{AB} 	imes \overline{AC})$ का उपयोग करते हुए,हम सदिशों को प्रतिस्थापित करते हैं: $\overline{AB} 	imes (\vec{d}-\vec{c}) + \overline{BC} 	imes (\vec{d}-\vec{a}) + \overline{CA} 	imes (\vec{d}-\vec{b})$।इसका विस्तार करने पर,हमें $\overline{AB} 	imes \vec{d} - \overline{AB} 	imes \vec{c} + \overline{BC} 	imes \vec{d} - \overline{BC} 	imes \vec{a} + \overline{CA} 	imes \vec{d} - \overline{CA} 	imes \vec{b}$ प्राप्त होता है।चूंकि $\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = 0$,इसलिए $\vec{d}$ वाले पदों का योग शून्य हो जाता है।इस प्रकार,व्यंजक $|-\overline{AB} 	imes \vec{c} - \overline{BC} 	imes \vec{a} - \overline{CA} 	imes \vec{b}|$ में सरल हो जाता है।$\vec{c} = \vec{a} + \overline{AC}$ और $\vec{b} = \vec{a} + \overline{AB}$ का उपयोग करने पर,यह $2 |\overline{AB} 	imes \overline{AC}|$ में बदल जाता है।चूंकि $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{AB} 	imes \overline{AC}|$ है,इसलिए हमारे पास $2 |\overline{AB} 	imes \overline{AC}| = 4 	imes (\Delta ABC 	ext{ का क्षेत्रफल})$ है।अतः,$\lambda = 4$।

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मान लीजिए $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + x\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,किसी वास्तविक $x$ के लिए। तो $|\vec{a} \times \vec{b}| = r$ संभव है यदि

यदि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,और $\vec{a} \times \vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$ है,तो $\vec{b} = \dots$

सदिशों का उपयोग करके,$A(1, 2, 3)$,$B(2, -1, 4)$ और $C(4, 5, -1)$ शीर्षों वाले त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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