यदि सदिश $\vec{a} = (x, y, z)$,$y$-अक्ष के साथ अधिक कोण बनाता है और सदिशों $\vec{b} = (y, -2z, 3x)$ और $\vec{c} = (2z, 3x, -y)$ के साथ समान कोण बनाता है,और यदि $|\vec{a}| = 2\sqrt{3}$ और $\vec{a}$,$\vec{d} = (1, -1, 2)$ के लंबवत है,तो सदिश $\vec{a}$ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $O$ मूलबिंदु है और $\overline{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,$\overline{OB} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \lambda\overline{OA})$ किसी $\lambda > 0$ के लिए है। यदि $|\overline{OB} \times \overline{OC}| = \frac{9}{2}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A)$ $\overline{OC}$ का $\overline{OA}$ पर प्रक्षेप $-\frac{3}{2}$ है
$(B)$ त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{9}{2}$ है
$(C)$ त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{9}{2}$ है
$(D)$ $\overline{OA}$ और $\overline{OC}$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के बीच का न्यून कोण $\frac{\pi}{3}$ है

यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\bar{a}|=\sqrt{31}, 4|\bar{b}|=|\bar{c}|=2$ और $2(\bar{a} \times \bar{b})=3(\bar{c} \times \bar{a})$ और यदि $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\frac{2\pi}{3}$ है,तो $\left|\frac{\bar{a} \times \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{b}}\right|^2=$

यदि $\hat{a}, \hat{b}$ और $\hat{c}$ असमतलीय सदिश हैं और यदि $\hat{d}$ इस प्रकार है कि $\hat{d} = \frac{1}{x}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c})$ और $\hat{d} = \frac{1}{y}(\hat{b} + \hat{c} + \hat{d})$ जहाँ $x$ और $y$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{xy}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d})$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\overrightarrow{OA}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{OB}=\hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k}$,और $\overrightarrow{OC}=-3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ क्रमशः तीन बिंदुओं $A$,$B$,और $C$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $G$ त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक है,तो $BC^2+CA^2+AB^2+9(OG)^2=$

यदि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं और यदि $\vec{d}$ इस प्रकार है कि $\vec{d} = \frac{1}{x}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ और $\vec{d} = \frac{1}{y}(\vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$ जहाँ $x$ और $y$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं, तो $\frac{1}{xy}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$ का मान क्या होगा?