જો બે એકમ સદિશો $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો $\sin(\theta/2) = $ ......

બિંદુઓ $5\hat{i} + \hat{k}$ અને $-5\hat{i} - \hat{k}$ પર લાગતા બળો $(9, -1, 2)$ અને $(3, -2, 1)$ દ્વારા બનતા બળયુગ્મની ચાકમાત્રા (ટોર્ક) શોધો.

બે સદિશો $\overrightarrow{u} = 3\hat{i} - \hat{j}$ અને $\overrightarrow{v} = 2\hat{i} + \hat{j} - \lambda\hat{k}$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $\lambda > 0$. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}\right)$ છે. ધારો કે $\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$,જ્યાં $\vec{v}_1$ એ $\overrightarrow{u}$ ને સમાંતર છે અને $\vec{v}_2$ એ $\overrightarrow{u}$ ને લંબ છે. તો $|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$x$ ની કઈ કિંમતો માટે સદિશો $x^2 \hat{i} + 2 x \hat{j} + \hat{k}$ અને $\hat{i} - 2 \hat{j} + x \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય,તે અંતરાલ શોધો.

$5a + 2b$ અને $a - 3b$ સદિશો પર રચાયેલા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના મોટા વિકર્ણની લંબાઈ કેટલી થશે,જો $|a| = 2\sqrt{2}$,$|b| = 3$ અને $a$ તથા $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોય?

જો લંબચોરસની પાસપાસેની બાજુઓ $\bar{a}=5\bar{m}-3\bar{n}$,$\bar{b}=-\bar{m}-2\bar{n}$ હોય અને બીજા લંબચોરસની પાસપાસેની બાજુઓ $\bar{c}=-4\bar{m}-\bar{n}$,$\bar{d}=-\bar{m}+\bar{n}$ હોય,તો સદિશો $\bar{x}=\frac{\bar{a}+\bar{c}+\bar{d}}{3}$ અને $\bar{y}=\frac{\bar{c}+\bar{d}}{5}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.