मान लीजिए $\vec{a} = \hat{i} - \hat{k}$,$\vec{b} = x\hat{i} + \hat{j} + (1 - x)\hat{k}$,और $\vec{c} = y\hat{i} + x\hat{j} + (1 + x - y)\hat{k}$ है। तो अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$ किस पर निर्भर करता है?

$\vec{a}$ एक सदिश है जो अशून्य सदिशों $\vec{b}$ और $\vec{c}$ वाले समतल के लंबवत है। यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इस प्रकार हैं कि $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2}$, तो $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|+|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}|=$

यदि $a=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ है, तो $(a \times \hat{i}) \cdot(\hat{i}+\hat{j})+(a \times \hat{j}) \cdot(\hat{j}+\hat{k})+(a \times \hat{k}) \cdot(\hat{k}+\hat{i})=$

मान लीजिए $\overrightarrow{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$, $\overrightarrow{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{c}=\lambda \hat{i}+\hat{j}+(2 \lambda-1) \hat{k}$ है। यदि $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ वाले समतल के समानांतर है, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{p}$ और $\vec{q}$ असमान इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $(\vec{p} - \vec{q}) \cdot ((2\vec{q} + \vec{p}) \times (3\vec{p} - \vec{q})) = |\vec{p} + \vec{q}|$ है,तो $\vec{p}$ और $\vec{q}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि चतुष्फलक $ABCD$ का आयतन $81$ घन इकाई है और $G_1, G_2, G_3$ क्रमशः त्रिभुजाकार फलकों $ABC, ABD$ और $ACD$ के केंद्रक हैं। तो चतुष्फलक $AG_1G_2G_3$ का आयतन (घन इकाई में) क्या है?