यदि एक गुणोत्तर श्रेणी के $p^{th}$,$q^{th}$ और $r^{th}$ पद क्रमशः $a$,$b$ और $c$ हैं,तो सदिश $\vec{u} = (\log a)\hat{i} + (\log b)\hat{j} + (\log c)\hat{k}$ और $\vec{v} = (q - r)\hat{i} + (r - p)\hat{j} + (p - q)\hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। शीर्षों $A$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $3\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$ हैं। यदि $M$ विकर्ण $DB$ का मध्यबिंदु है,तो $\overline{OM}$ का $\overline{OC}$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए,जहाँ $O$ मूलबिंदु है।

मान लीजिए $O$ मूलबिंदु है और $PQR$ एक स्वैच्छिक त्रिभुज है। बिंदु $S$ इस प्रकार है कि $\overline{OP} \cdot \overline{OQ} + \overline{OR} \cdot \overline{OS} = \overline{OR} \cdot \overline{OP} + \overline{OQ} \cdot \overline{OS} = \overline{OQ} \cdot \overline{OR} + \overline{OP} \cdot \overline{OS}$. तो त्रिभुज $PQR$ के लिए $S$ क्या है?

यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो ऐसे सदिश हैं कि $|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{2}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=-1$ है,तो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त आकृति में,$P$,$AC$ को $3:4$ के अनुपात में विभाजित करता है और $Q$,$BC$ को $4:3$ के अनुपात में विभाजित करता है। तो $M$,$AQ$ को किस अनुपात में विभाजित करता है?

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन समतलीय संगामी सदिश इस प्रकार हैं कि उनके बीच के किन्हीं दो सदिशों का कोण समान है। यदि उनके परिमाणों का गुणनफल $14$ है और $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) + (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 168$ है,तो $|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|$ का मान ज्ञात कीजिए।