यदि सदिश vec{a} = hat{i} + ahat{j} + hat{k},v | vedclass

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Question

(C) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V$ उनके अदिश त्रिक गुणनफल के मापांक के बराबर होता है: $V = |[\vec{a} \vec

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$\frac{1}{\sqrt{3}}$

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(C) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V$ उनके अदिश त्रिक गुणनफल के मापांक के बराबर होता है: $V = |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$.सारणिक का मान ज्ञात करने पर:$V = \left| \det \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \ 0 & 1 & a \ a & 0 & 1 \end{bmatrix} ight| = |1(1-0) - a(0-a^2) + 1(0-a)| = |1 + a^3 - a|$.न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $f(a) = a^3 - a + 1$ का विश्लेषण करते हैं।$a$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(a) = 3a^2 - 1$.$f'(a) = 0$ रखने पर,हमें $3a^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर: $f''(a) = 6a$.$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f''(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2\sqrt{3} > 0$,जो यह दर्शाता है कि यहाँ न्यूनतम मान प्राप्त होता है।अतः,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर आयतन न्यूनतम है।

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