यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं और $\vec{r}$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$,$\vec{r} \cdot \vec{b} = 1$,और $[\vec{r} \, \vec{a} \, \vec{b}] = 1$ है,तो $\vec{r} = \dots$

यदि एक चतुष्फलक के शीर्ष $\vec{a} = \vec{j} + 2\vec{k}$,$\vec{b} = 3\vec{i} + \vec{k}$,$\vec{c} = 4\vec{i} + 3\vec{j} + 6\vec{k}$ और $\vec{d} = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{k}$ हैं,तो इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

$\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k})+\hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{j})+\hat{k} \cdot(\hat{j} \times \hat{i})+\hat{i} \cdot(\hat{k} \times \hat{j})$ का मान . . . . . . है।

सदिशों $\vec{x}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$,$\vec{y}=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{z}=3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ पर विचार करें। दो भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ के लिए,$\vec{X}=\alpha\vec{x}+\beta\vec{y}-\vec{z}$,$\vec{Y}=\alpha\vec{y}+\beta\vec{z}-\vec{x}$,और $\vec{Z}=\alpha\vec{z}+\beta\vec{x}-\vec{y}$ को परिभाषित करें। यदि सदिश $\vec{X}, \vec{Y}$,और $\vec{Z}$ एक समतल में स्थित हैं,तो $\alpha+\beta-3$ का मान $....$ है।

मान लीजिए $\vec{b} = -\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$ और $\vec{c} = 2\hat{i} - 7\hat{j} - 10\hat{k}$ है। यदि $\vec{a}$ एक इकाई सदिश है और अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}]$ का मान अधिकतम है,तो $\vec{a}$ किसके बराबर है?

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) की ऊँचाई क्या है, जिसके सह-आश्रित किनारे सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$, और $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ हैं, जहाँ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समांतर षट्फलक के आधार की भुजाएँ हैं?