જો શૂન્યેતર સદિશો $\vec{a}$,$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ એ $\vec{a} = 8\vec{b}$ અને $\vec{c} = -7\vec{b}$ દ્વારા સંબંધિત હોય,તો $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે $p = (x + 4y)\vec{a} + (2x + y + 1)\vec{b}$ અને $q = (y - 2x + 2)\vec{a} + (2x - 3y - 1)\vec{b}$,જ્યાં $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ અસમરેખ સદિશો છે. જો $3p = 2q$ હોય,તો $x$ અને $y$ ની કિંમતો શોધો.

ધારો કે $\bar{a}, \bar{b}$ અને $\bar{c}$ એ અસમતલીય સદિશો છે. જો $P, Q, R$ અને $S$ એ ચાર બિંદુઓ છે જેના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $-\bar{a}+4\bar{b}-3\bar{c}$,$3\bar{a}+2\bar{b}-5\bar{c}$,$-3\bar{a}+8\bar{b}-5\bar{c}$ અને $-3\bar{a}+2\bar{b}+\bar{c}$ હોય,તો વાસ્તવિક સંખ્યાઓની ક્રમયુક્ત જોડ $(x, y)$ શોધો જેથી $\overline{PQ} = x \cdot \overline{PR} + y \cdot \overline{PS}$ થાય.

જો $\hat{x}, \hat{y},$ અને $\hat{z}$ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ત્રણ એકમ સદિશો હોય,તો $|\hat{x} + \hat{y}|^2 + |\hat{y} + \hat{z}|^2 + |\hat{z} + \hat{x}|^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

ત્રિકોણ $ABC$ માં,જો $2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{CB}$ હોય,તો $2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}$ ની કિંમત શું થાય?

જો સદિશની લંબાઈ $21$ હોય અને દિશા ગુણોત્તર $2, -3, 6$ હોય,તો તેના દિશા કોસાઇન શું થાય?