प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण (varianc | vedclass

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Question

(C) प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र है: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left( \frac{\sum x_i}{n} \right)^2$. प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,$\sum

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$\frac{n^2 - 1}{12}$

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(C) प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र है: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left( \frac{\sum x_i}{n} \right)^2$. प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,$\sum x_i = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sigma^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} - \left( \frac{n(n+1)}{2n} \right)^2$. $\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$. लघुत्तम समापवर्त्य $12$ लेने पर: $\sigma^2 = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}$. $\sigma^2 = \frac{(n+1) [2(2n+1) - 3(n+1)]}{12} = \frac{(n+1)(4n+2 - 3n - 3)}{12} = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}$.

$C$.$I$.	$75$-$175$	$175$-$275$	$275$-$375$	$375$-$475$	$475$-$575$	$575$-$675$	$675$-$775$
$f_i$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$

आकार $(x_i)$	$3.5$	$4.5$	$5.5$	$6.5$	$7.5$	$8.5$	$9.5$
आवृत्ति $(f_i)$	$3$	$7$	$22$	$60$	$85$	$32$	$8$

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण (variance) ज्ञात कीजिए।

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आकार $(x_i)$ $3.5$ $4.5$ $5.5$ $6.5$ $7.5$ $8.5$ $9.5$

आवृत्ति $(f_i)$ $3$ $7$ $22$ $60$ $85$ $32$ $8$

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