स्थिति सदिश $2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ वाले बिंदु से गुजरने वाले और सदिश $2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ के लंबवत समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि समतल $23x - 10y - 2z + 48 = 0$ और रेखाओं $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z+1}{3}$ तथा $\frac{x+3}{2} = \frac{y+2}{6} = \frac{z-1}{\lambda}$ $(\lambda \in R)$ को समाहित करने वाले समतल के बीच की दूरी $\frac{k}{\sqrt{633}}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(-1, 2, -3)$ से गुजरने वाले और रेखाओं $\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{-4}$ और $\frac{x}{2} = \frac{y-1}{-3} = \frac{z-2}{2}$ के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

कथन: बिंदु $(2, 1, 5)$ और $(3, 4, 3)$ समतल $2x + 2y - 2z - 1 = 0$ के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं।
कारण: दिए गए बिंदुओं से समतल की बीजीय लंबवत दूरियों के चिह्न विपरीत होते हैं।

एक समतल निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $A$, $B$ और $C$ पर इस प्रकार मिलता है कि त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $(2, -\frac{2}{3}, \frac{1}{2})$ है। मूल बिंदु से इस समतल की लंबवत दूरी है:

एक बिंदु $P(a, b, c)$ से, $XY$ समतल और $ZX$ समतल पर क्रमशः लंब $PA$ और $PB$ खींचे गए हैं। यदि $O$ मूल बिंदु है, तो समतल $OAB$ का समीकरण है