बिंदु $(7, 14, 5)$ से समतल $2x + 4y - z = 2$ पर डाले गए लंब की लंबाई और लंबपाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $P(43, \alpha, \beta), \beta < 0$ की रेखा $\vec{r} = 4\hat{i} - \hat{k} + \mu(2\hat{i} + 3\hat{k}), \mu \in R$ से, $3, -1, 0$ दिक-अनुपात वाली रेखा के अनुदिश दूरी $13\sqrt{10}$ है, तो $\alpha^{2} + \beta^{2}$ का मान . . . . . . है।

दिखाइए कि रेखाएँ $\frac{x+3}{-3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-5}{5}$ और $\frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-5}{5}$ समतलीय हैं।

मान लीजिए $\pi_1$ वह समतल है जो सदिशों $\bar{i}+\bar{j}$ और $\bar{i}+\bar{k}$ द्वारा निर्धारित होता है, और $\pi_2$ वह समतल है जो सदिशों $\bar{j}-\bar{k}$ और $\bar{k}-\bar{i}$ द्वारा निर्धारित होता है। मान लीजिए $\bar{a}$ समतलों $\pi_1$ और $\pi_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर एक गैर-शून्य सदिश है। यदि $\bar{b}=\bar{i}+\bar{j}-\bar{k}$ है, तो सदिशों $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(1,1,1)$ से गुजरने वाले और $x+2y-z+1=0$ तथा $3x-y-4z+3=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

बिंदुओं $(0, 1, 2)$ और $(-1, 0, 3)$ से होकर जाने वाले तथा समतल $2x + 3y + z = 5$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।