यदि बिंदु P(43, alpha, beta), beta

Question

(A) रेखा $\vec{r} = (4, 0, -1) + \mu(2, 0, 3)$ द्वारा दी गई है। माना बिंदु $P$ $(43, \alpha, \beta)$ है। बिंदु $P$ से गुजरने वाली और $(3, -1, 0)$ दिक-

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$170$

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(A) रेखा $\vec{r} = (4, 0, -1) + \mu(2, 0, 3)$ द्वारा दी गई है। माना बिंदु $P$ $(43, \alpha, \beta)$ है। बिंदु $P$ से गुजरने वाली और $(3, -1, 0)$ दिक-अनुपात वाली रेखा $\frac{x-43}{3} = \frac{y-\alpha}{-1} = \frac{z-\beta}{0} = \lambda$ है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P_1(43+3\lambda, \alpha-\lambda, \beta)$ है। चूंकि $P_1$ रेखा $\vec{r} = (4+2\mu, 0, -1+3\mu)$ पर स्थित है, इसलिए: $43+3\lambda = 4+2\mu \Rightarrow 2\mu - 3\lambda = 39$ $\alpha-\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \alpha$ $\beta = -1+3\mu$ $\lambda = \alpha$ से, $2\mu - 3\alpha = 39 \Rightarrow \mu = \frac{3\alpha+39}{2}$ प्राप्त होता है। अतः $\beta = -1 + 3(\frac{3\alpha+39}{2}) = \frac{-2+9\alpha+117}{2} = \frac{9\alpha+115}{2}$। दूरी $PP_1 = 13\sqrt{10}$ है, इसलिए $(PP_1)^2 = 1690$। $PP_1^2 = (3\lambda)^2 + (-\lambda)^2 + 0^2 = 10\lambda^2 = 1690 \Rightarrow \lambda^2 = 169 \Rightarrow \lambda = \pm 13$। यदि $\lambda = 13$ है, तो $\alpha = 13$ और $\beta = \frac{9(13)+115}{2} = 116$ (संभव नहीं क्योंकि $\beta यदि $\lambda = -13$ है, तो $\alpha = -13$ और $\beta = \frac{9(-13)+115}{2} = -1$। अतः, $\alpha^2 + \beta^2 = (-13)^2 + (-1)^2 = 169 + 1 = 170$।

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