रेखाओं frac{x - 1}{2} = frac{y - 2}{3} = frac | vedclass

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Question

(A) दी गई रेखाएं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ के रूप में हैं।यहाँ,$\vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j

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$\frac{1}{\sqrt{6}}$

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(A) दी गई रेखाएं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ के रूप में हैं।यहाँ,$\vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।साथ ही,$\vec{a_2} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\vec{b_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}$ की गणना करें:$\vec{b_1} 	imes \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 3 & 4 \ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-16) - \hat{j}(10-12) + \hat{k}(8-9) = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है।इसके बाद,$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} 	imes \vec{b_2})$ की गणना करें:$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}) = (1)(-1) + (2)(2) + (2)(-1) = -1 + 4 - 2 = 1$ है।न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} 	imes \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}|}$ द्वारा दी जाती है।$|\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ है।अतः,$d = \frac{1}{\sqrt{6}}$ है।

रेखाओं $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4}$ और $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 4}{4} = \frac{z - 5}{5}$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

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समांतर रेखाओं $\frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{5}=\frac{z-1}{2}$ और $\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{5}=\frac{z+3}{2}$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और रेखाओं $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}$ तथा $\bar{r} = \lambda(-3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k})$ के लंबवत रेखा का समीकरण है

बिंदु $P(-1, 1, 0)$ से बिंदुओं $A(0, 2, 4)$ और $B(3, 0, 1)$ को मिलाने वाली रेखा की लंबवत दूरी ज्ञात कीजिए।

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