दिखाइए कि समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 19$ और $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3 = 0$ परस्पर लंबवत हैं। इन दो समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक रेखा $L_1$ मूल बिंदु से होकर गुजरती है और रेखाओं $L_2: \vec{r} = (3+t)\hat{i} + (2t-1)\hat{j} + (2t+4)\hat{k}$ और $L_3: \vec{r} = (3+2s)\hat{i} + (3+2s)\hat{j} + (2+s)\hat{k}$ के लंबवत है, जहाँ $t, s \in R$ है। यदि $(a, b, c)$, जहाँ $a \in Z$, $L_3$ पर स्थित वह बिंदु है जो $L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से $\sqrt{17}$ की दूरी पर है, तो $(a+b+c)^2$ का मान . . . . . . . है।

रेखाओं $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+3}{1}$,$L_2: \frac{x-4}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z+3}{2}$ और समतलों $P_1: 7x+y+2z=3$,$P_2: 3x+5y-6z=4$ पर विचार करें। मान लीजिए कि $ax+by+cz=d$ उस समतल का समीकरण है जो रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरता है,और समतलों $P_1$ और $P_2$ के लंबवत है। सूची-$I$ का सूची-$II$ के साथ मिलान करें और सूचियों के नीचे दिए गए कोड का उपयोग करके सही उत्तर चुनें:

सूची-$I$	सूची-$II$
$P. \quad a =$	$1. \quad 13$
$Q. \quad b =$	$2. \quad -3$
$R. \quad c =$	$3. \quad 1$
$S. \quad d =$	$4. \quad -2$

कोड: $P \quad Q \quad R \quad S$

बिंदु $P$,बिंदुओं $Q(2, 3, 5)$ और $R(1, -1, 4)$ को जोड़ने वाली रेखा और समतल $5x - 4y - z = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यदि बिंदु $T(2, 1, 4)$ से रेखा $QR$ पर डाले गए लंब का पाद $S$ है,तो रेखाखंड $PS$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $L$ समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})=2$ और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=2$ की प्रतिच्छेदन रेखा है। यदि $P(\alpha, \beta, \gamma)$ बिंदु $(1,2,0)$ से $L$ पर डाले गए लंब का पाद है,तो $35(\alpha+\beta+\gamma)$ का मान है :

रेखाओं $L_1: \frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{2}$ और $L_2: \frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{3}$ पर विचार करें।
$1.$ $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश क्या है?
$(A) \frac{-\hat{i}+7 \hat{j}+7 \hat{k}}{\sqrt{99}}$ $(B) \frac{-\hat{i}-7 \hat{j}+5 \hat{k}}{5 \sqrt{3}}$ $(C) \frac{-\hat{i}+7 \hat{j}+5 \hat{k}}{5 \sqrt{3}}$ $(D) \frac{7 \hat{i}-7 \hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{99}}$
$2.$ $L_1$ और $L_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी क्या है?
$(A) 0$ $(B) \frac{17}{\sqrt{3}}$ $(C) \frac{41}{5 \sqrt{3}}$ $(D) \frac{17}{5 \sqrt{3}}$
$3.$ बिंदु $(-1,-2,-1)$ से गुजरने वाले और जिसका अभिलंब $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है,उस समतल से बिंदु $(1,1,1)$ की दूरी क्या है?
$(A) \frac{2}{\sqrt{75}}$ $(B) \frac{7}{\sqrt{75}}$ $(C) \frac{13}{\sqrt{75}}$ $(D) \frac{23}{\sqrt{75}}$