मान लीजिए L समतलों vec{r} cdot(hat{i}-hat{j}+ | vedclass

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Question

(B) समतलों के समीकरण $P_{1}: x-y+2 z=2$ और $P_{2}: 2 x+y-z=2$ हैं।मान लीजिए कि समतलों $P_{1}$ और $P_{2}$ की प्रतिच्छेदन रेखा $xy$-समतल को बिंदु $Q$ पर

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$119$

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(B) समतलों के समीकरण $P_{1}: x-y+2 z=2$ और $P_{2}: 2 x+y-z=2$ हैं।मान लीजिए कि समतलों $P_{1}$ और $P_{2}$ की प्रतिच्छेदन रेखा $xy$-समतल को बिंदु $Q$ पर काटती है।दोनों समीकरणों में $z=0$ रखने पर,हमें $x-y=2$ और $2x+y=2$ प्राप्त होता है। इन्हें जोड़ने पर,$3x=4 \Rightarrow x=\frac{4}{3}$,और $y=x-2 = \frac{4}{3}-2 = -\frac{2}{3}$।अतः,$Q = (\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, 0)$।प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{a}$,अभिलंबों $\vec{n}_{1} = \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{n}_{2} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ का सदिश गुणनफल है।$\vec{a} = \vec{n}_{1} 	imes \vec{n}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & -1 & 2 \ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-2) - \hat{j}(-1-4) + \hat{k}(1+2) = -\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}$।रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-4/3}{-1} = \frac{y+2/3}{5} = \frac{z}{3} = \lambda$ है।रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $F$,$(-\lambda + 4/3, 5\lambda - 2/3, 3\lambda)$ के रूप में है।मान लीजिए $A = (1, 2, 0)$। सदिश $\vec{AF} = (-\lambda + 4/3 - 1, 5\lambda - 2/3 - 2, 3\lambda - 0) = (-\lambda + 1/3, 5\lambda - 8/3, 3\lambda)$।चूंकि $AF \perp L$,इसलिए $\vec{AF} \cdot \vec{a} = 0$।$(-\lambda + 1/3)(-1) + (5\lambda - 8/3)(5) + (3\lambda)(3) = 0$।$\lambda - 1/3 + 25\lambda - 40/3 + 9\lambda = 0$।$35\lambda - 41/3 = 0 \Rightarrow 35\lambda = 41/3 \Rightarrow \lambda = 41/105$।लंब का पाद $P(\alpha, \beta, \gamma)$ के निर्देशांक $F$ हैं।$\alpha + \beta + \gamma = (-\lambda + 4/3) + (5\lambda - 2/3) + 3\lambda = 7\lambda + 2/3$।$35(\alpha + \beta + \gamma) = 35(7\lambda + 2/3) = 245\lambda + 70/3$।$\lambda = 41/105$ रखने पर: $245(41/105) + 70/3 = (49 	imes 41)/21 + 70/3 = (7 	imes 41)/3 + 70/3 = 287/3 + 70/3 = 357/3 = 119$।

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