बिंदु $(2, 5, -3)$ से गुजरने वाले और समतलों $x + 2y + 2z = 1$ तथा $x - 2y + 3z = 4$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-5}{-3}$ और $\frac{x+5}{3}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z+3}{4}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले और $xy$-समतल के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि $P(2, \beta, \alpha)$ समतल $x+2y-z-2=0$ पर स्थित है और $Q(\alpha, -1, \beta)$ समतल $2x-y+3z+6=0$ पर स्थित है,तो रेखा $PQ$ की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) क्या हैं?

माना समतल $2x + 3y + z + 20 = 0$ को समतल $x - 3y + 5z = 8$ के साथ इसकी प्रतिच्छेदन रेखा के परितः समकोण पर घुमाया जाता है। यदि घुमाए गए समतल में बिंदु $(2, -1/2, 2)$ का दर्पण प्रतिबिंब $B(a, b, c)$ है,तो:

यदि रेखा $x = y = z$,समीकरणों $x \sin A + y \sin B + z \sin C - 18 = 0$ और $x \sin 2A + y \sin 2B + z \sin 2C - 9 = 0$ द्वारा परिभाषित रेखा को प्रतिच्छेद करती है,जहाँ $A, B, C$ एक त्रिभुज $ABC$ के कोण हैं,तो $80 \left( \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \right)$ का मान $..........$ है।

समतल $r \cdot(3 \hat{i}+4 \hat{j}-12 \hat{k})=7$ की मूल बिंदु से दूरी, जो रेखा $r=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+t(6 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$ के समांतर मापी गई है, क्या है?