मान लीजिए कि समतल $3x - 6y - 2z = 15$ और $2x + y - 2z = 5$ हैं।
कथन-$1$: दिए गए समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के प्राचलिक समीकरण $x = 3 + 14t, y = 1 + 2t, z = 15t$ हैं।
कथन-$2$: सदिश $14\hat{i} + 2\hat{j} + 15\hat{k}$ दिए गए समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर है.

यदि बिंदु $(0, -\frac{1}{2}, 0)$ से गुजरने वाली और रेखाओं $\overrightarrow{r} = \lambda(\hat{i} + a\hat{j} + b\hat{k})$ और $\overrightarrow{r} = (\hat{i} - \hat{j} - 6\hat{k}) + \mu(-b\hat{i} + a\hat{j} + 5\hat{k})$ पर लंब रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+4}{d} = \frac{z-c}{-4}$ है,तो $a+b+c+d$ का मान ज्ञात कीजिए :

समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}+3 \hat{j})-6=0$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}-4 \hat{k})=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए,जिसकी मूल बिंदु से लंबवत दूरी एक इकाई है।

$XY$-समतल बिंदुओं $A(2, 3, -5)$ और $B(-1, -2, -3)$ को मिलाने वाली रेखा को किस अनुपात में विभाजित करता है?

यदि बिंदु $(1, -2, 3)$ की समतल $x + 2y - 3z + 10 = 0$ से रेखा $\frac{x-1}{3} = \frac{2-y}{m} = \frac{z+3}{1}$ के समांतर मापी गई दूरी $\sqrt{\frac{7}{2}}$ है,तो $|m|$ का मान ....... है।

मान लीजिए $P$ समतल $\sqrt{3} x+2 y+3 z=16$ है और $S=\left\{\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k}: \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1 \text{ और } (\alpha, \beta, \gamma) \text{ की समतल } P \text{ से दूरी } \frac{7}{2} \text{ है}\right\}$ है। मान लीजिए $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{w}$ समुच्चय $S$ में तीन भिन्न सदिश हैं जैसे कि $|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|=|\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}|=|\overrightarrow{w}-\overrightarrow{u}|$। मान लीजिए $V$ सदिशों $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{w}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन है। तो $\frac{80}{\sqrt{3}} V$ का मान ज्ञात कीजिए।