यदि बिंदु (0, -frac{1}{2}, 0) से गुजरने वाली | vedclass

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Question

(B) अभीष्ट रेखा दो रेखाओं पर लंब है जिनके दिशा सदिश $\vec{v_1} = \hat{i} + a\hat{j} + b\hat{k}$ और $\vec{v_2} = -b\hat{i} + a\hat{j} + 5\hat{k}$ हैं।अ

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$14$

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(B) अभीष्ट रेखा दो रेखाओं पर लंब है जिनके दिशा सदिश $\vec{v_1} = \hat{i} + a\hat{j} + b\hat{k}$ और $\vec{v_2} = -b\hat{i} + a\hat{j} + 5\hat{k}$ हैं।अतः,अभीष्ट रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{v_1} 	imes \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & a & b \ -b & a & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(5a - ab) - \hat{j}(5 + b^2) + \hat{k}(a + ab)$ है।रेखा $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+4}{d} = \frac{z-c}{-4}$ के दिक अनुपात $(-2, d, -4)$ हैं।चूंकि रेखाएं समांतर हैं,उनके दिक अनुपात समानुपाती होंगे: $\frac{5a - ab}{-2} = \frac{-(b^2 + 5)}{d} = \frac{a + ab}{-4} = k$.बिंदु $(0, -\frac{1}{2}, 0)$ रेखा $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+4}{d} = \frac{z-c}{-4}$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{0-1}{-2} = \frac{-1/2 + 4}{d} = \frac{0-c}{-4} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{7/2}{d} = \frac{-c}{-4}$ प्राप्त होता है।$\frac{1}{2} = \frac{7}{2d}$ से $d = 7$ मिलता है और $\frac{1}{2} = \frac{c}{4}$ से $c = 2$ मिलता है।अब,$\frac{5a - ab}{-2} = \frac{a + ab}{-4} \Rightarrow 2(5a - ab) = a + ab \Rightarrow 10a - 2ab = a + ab \Rightarrow 9a = 3ab \Rightarrow b = 3$.साथ ही,$\frac{-(b^2 + 5)}{d} = \frac{a + ab}{-4} \Rightarrow \frac{-(9 + 5)}{7} = \frac{a + 3a}{-4} \Rightarrow -2 = \frac{4a}{-4} \Rightarrow -2 = -a \Rightarrow a = 2$.अतः,$a+b+c+d = 2 + 3 + 2 + 7 = 14$.

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रेखा $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ और समतल $\bar{r} \cdot (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=4$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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