यदि दो रेखाएँ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{4}$ और $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{1}$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ रेखाएँ $\overrightarrow{r} = \hat{i} + \lambda(-\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}), \lambda \in R$ और $\overrightarrow{r} = \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}), \mu \in R$ को दर्शाती हैं। यदि $L_3$ एक ऐसी रेखा है जो $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है और दोनों को काटती है,तो निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प $L_3$ का वर्णन करता है?
$(1) \overrightarrow{r} = \frac{1}{3}(2\hat{i} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(2) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(3) \overrightarrow{r} = t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(4) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$

उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिक्-कोसाइन $l + m + n = 0$ और $2lm + 2nl - mn = 0$ संबंधों द्वारा जुड़े हैं।

रेखाओं $\frac{x-3}{2}=\frac{y+15}{-7}=\frac{z-9}{5}$ और $\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-9}{-3}$ के बीच की न्यूनतम दूरी है ($\sqrt{3}$ में)

मान लीजिए $P$ बिंदु $(10, -2, -1)$ है और $Q$ बिंदु $R(1, 7, 6)$ से बिंदुओं $(2, -5, 11)$ और $(-6, 7, -5)$ से गुजरने वाली रेखा पर खींचे गए लंब का पाद है। तो रेखाखंड $PQ$ की लंबाई .......... के बराबर है।

मान लीजिए $P(\alpha, \beta, \gamma)$ रेखा $\frac{x-0}{1} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-1}{-1}$ में बिंदु $Q(3, -3, 1)$ का प्रतिबिंब है और $R$ बिंदु $(2, 5, -1)$ है। यदि त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल $\lambda$ है और $\lambda^2 = 14K$ है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए: