સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ એ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે?

રેખા $r = 2i - 2j + 3k + \lambda (i - j + 4k)$ અને સમતલ $r \cdot (i + 5j + k) = 5$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

જો ${L_1}$ એ સમતલો $2x - 2y + 3z - 2 = 0$ અને $x - y + z + 1 = 0$ ની છેદરેખા હોય અને ${L_2}$ એ સમતલો $x + 2y - z - 3 = 0$ અને $3x - y + 2z - 1 = 0$ ની છેદરેખા હોય,તો ${L_1}$ અને ${L_2}$ ને સમાવતા સમતલનું ઉગમબિંદુથી અંતર શોધો.

ધારો કે $\lambda_1, \lambda_2$ એ $\lambda$ ની એવી કિંમતો છે જેના માટે બિંદુઓ $\left(\frac{5}{2}, 1, \lambda\right)$ અને $(-2, 0, 1)$ સમતલ $2x + 3y - 6z + 7 = 0$ થી સમાન અંતરે છે. જો $\lambda_1 > \lambda_2$ હોય,તો બિંદુ $(\lambda_1 - \lambda_2, \lambda_2, \lambda_1)$ નું રેખા $\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 7}{2}$ થી અંતર કેટલું થાય?

ધારો કે $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+3}{-1}$ એ સમતલ $px-qy+z=5$ પર આવેલી છે,જ્યાં $p, q \in R$ છે. ઉગમબિંદુથી આ સમતલનું લઘુત્તમ અંતર કેટલું છે?

ધારો કે સમતલ $P$ એ સમતલો $2x + 3y - z = 2$ અને $x + 2y + 3z = 6$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને સમતલ $2x + y - z + 1 = 0$ ને લંબ છે. જો $d$ એ બિંદુ $(-7, 1, 1)$ થી $P$ નું અંતર હોય,તો $d^2$ ની કિંમત શોધો: