समतल ax + by + cz + d = 0 बिंदुओं (x_1, y_1, | vedclass

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Question

(A) माना कि समतल $ax + by + cz + d = 0$ बिंदुओं $A(x_1, y_1, z_1)$ और $B(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{ax_2 + by_2 + cz_2 + d}$

Vedclass · Answer

(A) माना कि समतल $ax + by + cz + d = 0$ बिंदुओं $A(x_1, y_1, z_1)$ और $B(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु $P$ के निर्देशांक हैं: $P = \left( \frac{kx_2 + x_1}{k+1}, \frac{ky_2 + y_1}{k+1}, \frac{kz_2 + z_1}{k+1} \right)$. चूंकि यह बिंदु $P$ समतल $ax + by + cz + d = 0$ पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $a\left( \frac{kx_2 + x_1}{k+1} \right) + b\left( \frac{ky_2 + y_1}{k+1} \right) + c\left( \frac{kz_2 + z_1}{k+1} \right) + d = 0$. $(k+1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $a(kx_2 + x_1) + b(ky_2 + y_1) + c(kz_2 + z_1) + d(k+1) = 0$. $k$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $k(ax_2 + by_2 + cz_2 + d) + (ax_1 + by_1 + cz_1 + d) = 0$. $k(ax_2 + by_2 + cz_2 + d) = -(ax_1 + by_1 + cz_1 + d)$. $k = -\frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{ax_2 + by_2 + cz_2 + d}$. अतः,समतल रेखाखंड को $-\frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{ax_2 + by_2 + cz_2 + d} : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।

समतल $ax + by + cz + d = 0$ बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?

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