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Question

(A) दिया गया है: केंद्र $C = (2, -3)$,नाभि $S = (3, -3)$,शीर्ष $A = (4, -3)$.दूरी $CA = \sqrt{(4-2)^2 + (-3 - (-3))^2} = 2$. अतः,$a = 2$.दूरी $CS = \s

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$3x^{2} + 4y^{2} - 12x + 24y + 36 = 0$

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(A) दिया गया है: केंद्र $C = (2, -3)$,नाभि $S = (3, -3)$,शीर्ष $A = (4, -3)$.दूरी $CA = \sqrt{(4-2)^2 + (-3 - (-3))^2} = 2$. अतः,$a = 2$.दूरी $CS = \sqrt{(3-2)^2 + (-3 - (-3))^2} = 1$. चूँकि $CS = ae$,इसलिए $ae = 1$. अतः,$e = \frac{1}{a} = \frac{1}{2}$.दीर्घवृत्त के लिए,केंद्र से नियता (directrix) की दूरी $\frac{a}{e}$ होती है। मुख्य अक्ष क्षैतिज $(y = -3)$ है,इसलिए नियता एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = h$ है। केंद्र $(2, -3)$ से नियता की दूरी $\frac{a}{e} = \frac{2}{1/2} = 4$ है।नाभि $x = 3$ पर है,इसलिए नियता $x = 2 + 4 = 6$ होगी।दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,$PS = e \cdot PN$,जहाँ $P(x, y)$ दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है और $PN$ नियता $x = 6$ से लंबवत दूरी है:$\sqrt{(x-3)^2 + (y+3)^2} = \frac{1}{2} |x-6|$$(x-3)^2 + (y+3)^2 = \frac{1}{4} (x-6)^2$$4(x^2 - 6x + 9 + y^2 + 6y + 9) = x^2 - 12x + 36$$3x^2 + 4y^2 - 12x + 24y + 36 = 0$.

उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र $(2, -3)$ पर,नाभि $(3, -3)$ पर और एक शीर्ष $(4, -3)$ पर है।

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