यदि परवलय की जीवा PQ के अंत्य बिंदुओं पर स्पर | vedclass

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Question

(B) माना परवलय का समीकरण $y^{2} = 4ax$ है और जीवा $PQ$ के अंत्य बिंदु $P(at_1^{2}, 2at_1)$ और $Q(at_2^{2}, 2at_2)$ हैं।$P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं का

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$G.P.$

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(B) माना परवलय का समीकरण $y^{2} = 4ax$ है और जीवा $PQ$ के अंत्य बिंदु $P(at_1^{2}, 2at_1)$ और $Q(at_2^{2}, 2at_2)$ हैं।$P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $T$ के निर्देशांक $(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ हैं।नाभि $S(a, 0)$ से बिंदु $(at^{2}, 2at)$ की दूरी $a(1 + t^{2})$ होती है।अतः,$SP = a(1 + t_1^{2})$ और $SQ = a(1 + t_2^{2})$ है।नाभि $S(a, 0)$ से $T(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ की दूरी $ST$ इस प्रकार है:$ST^{2} = (at_1t_2 - a)^{2} + (a(t_1 + t_2) - 0)^{2}$$ST^{2} = a^{2}(t_1^{2}t_2^{2} + t_1^{2} + t_2^{2} + 1)$$ST^{2} = a^{2}(1 + t_1^{2})(1 + t_2^{2})$$ST^{2} = SP \cdot SQ$चूंकि $ST^{2} = SP \cdot SQ$,इसलिए दूरियां $SP, ST, SQ$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

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