बिंदु $P\ (3, 4)$ से दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं,जो दीर्घवृत्त को बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं। $A$ और $B$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि अतिपरवलय $H : \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ बिंदु $(2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ से होकर गुजरता है। एक परवलय खींचा गया है जिसकी नाभि $H$ की धनात्मक भुज वाली नाभि के समान है और परवलय की नियता $H$ की दूसरी नाभि से होकर गुजरती है। यदि परवलय के नाभिलंब की लंबाई $H$ के नाभिलंब की लंबाई की $e$ गुना है,जहाँ $e$ $H$ की उत्केंद्रता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु परवलय पर स्थित है?

स्तंभ $1, 2$ और $3$ में क्रमशः शांकव,स्पर्श रेखाओं के समीकरण और स्पर्श बिंदु दिए गए हैं।
(तालिका के लिए अंग्रेजी संस्करण देखें)
$(1)$ एक उपयुक्त शांकव (स्तंभ $1$) पर $(\sqrt{3}, 1/2)$ पर स्पर्श रेखा $\sqrt{3}x+2y=4$ है। कौन सा संयोजन सही है?
$(2)$ यदि एक उपयुक्त शांकव (स्तंभ $1$) की स्पर्श रेखा $y=x+8$ है और इसका स्पर्श बिंदु $(8, 16)$ है,तो कौन सा संयोजन सही है?
$(3)$ $a=\sqrt{2}$ के लिए,यदि एक उपयुक्त शांकव (स्तंभ $1$) पर $(-1, 1)$ पर स्पर्श रेखा खींची जाती है,तो कौन सा संयोजन सही है?

यदि रेखा $y = \sqrt{3}x$ वक्र $x^4 + ax^2y + bxy + cx + dy + 6 = 0$ को $A$,$B$,$C$ और $D$ पर काटती है,तो $OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD$ का मान ज्ञात कीजिए,(जहाँ $O$ मूलबिंदु है)।

वृत्त $x^{2}+y^{2}=2$ और परवलय $y^{2}=8x$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

मान लीजिए $\lim_{x \to 2} \frac{(\tan(x-2))(rx^2 + (p-2)x - 2p)}{(x-2)^2} = 5$ किसी $r, p \in R$ के लिए है। यदि $q$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय, इस प्रकार कि समीकरण $rx^2 - px + q = 0$ के मूल $(0, 2)$ में स्थित हों, अंतराल $(\alpha, \beta]$ है, तो $4(\alpha + \beta)$ बराबर है: