જો સુરેખા $y = 4x + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$ નો સ્પર્શક હોય,તો $c = \dots$

ધારો કે $S$ અને $S'$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ ની નાભિઓ છે અને $P$ એ ઉપવલય પરનું ચલ બિંદુ છે. ત્રિકોણ $PSS'$ ના ક્ષેત્રફળનું મહત્તમ મૂલ્ય ............. ચોરસ એકમ છે.

ધારો કે $E$ એક ઉપવલય છે જેના અક્ષો યામ અક્ષોને સમાંતર છે,તેનું કેન્દ્ર $(3, -4)$ પર છે,એક નાભિ $(4, -4)$ પર છે અને એક શિરોબિંદુ $(5, -4)$ પર છે. જો $mx - y = 4$ જ્યાં $m > 0$ એ ઉપવલય $E$ નો સ્પર્શક હોય,તો $5m^{2}$ ની કિંમત ..... છે.

એક ઉપવલયની મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષો અનુક્રમે $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ પર છે. જો તેના નાભિલંબની લંબાઈ $4$ હોય અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $4 \sqrt{2}$ હોય,તો તે ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $f$ એ $\mathbb{R}$ પર વ્યાખ્યાયિત એક ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે, જેથી $f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}$. ધારો કે $\frac{x^2}{f(a^2+5a+3)} + \frac{y^2}{f(a+15)} = 1$ એ $y$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતું ઉપવલય છે. તો $a$ ની કિંમત કયા અંતરાલ(ઓ) માં હોઈ શકે?

જો $P_1$ અને $P_2$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ પરના બે બિંદુઓ હોય,જ્યાં સ્પર્શકો બિંદુઓ $(0, 1)$ અને $(2, 0)$ ને જોડતી જીવાને સમાંતર હોય,તો $P_1$ અને $P_2$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.