मान लीजिए कि रेखाएं $L_1: x - y = 1,$ $L_2: x + y = 1,$ $L_3: 2x + 2y = 5,$ और $L_4: 2x - 2y = 7$ हैं। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

  • A
    $L_1 \perp L_2, L_2 \parallel L_3, L_1$ रेखा $L_4$ को काटती है।
  • B
    $L_1 \perp L_2, L_1 \parallel L_3, L_1$ रेखा $L_2$ को काटती है।
  • C
    $L_1 \perp L_2, L_1 \parallel L_3, L_2$ रेखा $L_4$ को काटती है।
  • D
    $L_1 \parallel L_4, L_2 \parallel L_3, L_2$ रेखा $L_3$ को काटती है।

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यदि सरल रेखा $2x - 3y + 17 = 0$,बिंदुओं $(7, 17)$ और $(15, \beta)$ से गुजरने वाली रेखा पर लंब है,तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $\theta_1$ दो रेखाओं $2x + 3y + c_1 = 0$ और $-x + 5y + c_2 = 0$ के बीच का कोण है और $\theta_2$ दो रेखाओं $2x + 3y + c_1 = 0$ और $-x + 5y + c_3 = 0$ के बीच का कोण है,जहाँ $c_1, c_2, c_3$ कोई भी वास्तविक संख्याएँ हैं।
कथन-$1$: यदि $c_2$ और $c_3$ समानुपाती हैं,तो $\theta_1 = \theta_2$ है।
कथन-$2$: सभी $c_2$ और $c_3$ के लिए $\theta_1 = \theta_2$ है।

सिद्ध कीजिए कि दो रेखाएँ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$,जहाँ $b_{1}, b_{2} \neq 0$,लंबवत हैं यदि $a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} = 0$ हो।

$y - \sqrt{3}x + 1 = 0$ और $\sqrt{3}y - x + 7 = 0$ द्वारा दी गई रेखाओं के बीच का न्यून कोण क्या है ($^{\circ}$ में)?

यदि दो रेखाएँ $x+(a-1)y=1$ और $2x+a^2y=1$ $(a \in R-\{0,1\})$ लंबवत हैं,तो उनके प्रतिच्छेदन बिंदु की मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।

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